高二數學不等式的基本性質與不等式的解法

編輯: 逍遙路 關鍵詞: 高二學習指導 來源: 高中學習網

德甲2019赛程表 www.emdkn.com 什么叫做不等式

用不等號將兩個整式連結起來所成的式子。

不等式基本性質

①如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y;(對稱性)

②如果x>y,y>z;那么x>z;(傳遞性)

③如果x>y,而z為任意實數或整式,那么x+z>y+z;(加法原則,或叫同向不等式可加性)

④ 如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz<yz;(乘法原則)

⑤如果x>y,z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y,z<0,那么x÷z<y÷z;

⑥如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;(充分不必要條件)

⑦如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;

⑧如果x>y>0,那么x的n次冪>y的n次冪(n為正數),x的n次冪<y的n次冪(n為負數)

或者說,不等式的基本性質有:

①對稱性;

②傳遞性:

③加法單調性:即同向不等式可加性:

④乘法單調性:

⑤同向正值不等式可乘性:

⑥正值不等式可乘方:

⑦正值不等式可開方:

⑧倒數法則。

如果由不等式的基本性質出發,通過邏輯推理,可以論證大量的初等不等式,以上是其中比較有名的。

不等式性質與等式性質的異同點

相同點:等式或不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數,等式或不等式仍然成立。

不相同點:等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個不為0 的數,等式仍然成立。

不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個正數,不等式仍然成立。

不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數,不等式改變方向。

不等式的解法:

(1)一元二次不等式: 一元二次不等式二次項系數小于零的,同解變形為二次項系數大于零;注:要對 進行討論:

(2)絕對值不等式:若 ,則 ; ;

注意:

(1)解有關絕對值的問題,考慮去絕對值,去絕對值的方法有:

⑴對絕對值內的部分按大于、等于、小于零進行討論去絕對值;

(2).通過兩邊平方去絕對值;需要注意的是不等號兩邊為非負值。

(3).含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區間討論”的方法來解。

(4)分式不等式的解法:通解變形為整式不等式;

(5)不等式組的解法:分別求出不等式組中,每個不等式的解集,然后求其交集,即是這個不等式組的解集,在求交集中,通常把每個不等式的解集畫在同一條數軸上,取它們的公共部分。

(6)解含有參數的不等式:

解含參數的不等式時,首先應注意考察是否需要進行分類討論.如果遇到下述情況則一般需要討論:

①不等式兩端乘除一個含參數的式子時,則需討論這個式子的正、負、零性.

②在求解過程中,需要使用指數函數、對數函數的單調性時,則需對它們的底數進行討論.

③在解含有字母的一元二次不等式時,需要考慮相應的二次函數的開口方向,對應的一元二次方程根的狀況(有時要分析△),比較兩個根的大小,設根為 (或更多)但含參數,要討論。


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